האם ניסית לחפש ספרים כלשהם על היסטוריית החשבון? להלן לקוח מתוך "ההתפתחות ההיסטורית של החשבון" מאת CH Edwards (עמ '205 ff).

ניתן לקשור את פונקציית הסינוס ההפוכה (לזוויות רדיאן ברבע הראשון) לאזור תחת קשת של מעגל היחידה, שהיא $ y = \ sqrt {1-x ^ 2} $ ברבע הראשון. ניוטון ידע מגילויו את ההתפשטות הבינומית של מעריכים רציונליים כיצד לכתוב $ \ sqrt {1-x ^ 2} $ כסדרת כוח, שאותה הוא יכול היה לשלב באופן מונח. באופן זה הוא מצא את סדרת הכוח עבור $ \ arcsin x $. ואז הוא הפך את הסדרה ההיא עד שזיהה את התבנית כדי "לבסס" את סדרת הכוח של $ \ sin x $, שממנה הוא יכול למצוא את סדרת הכוח עבור $ \ cos x $ כסדרה עבור $ \ sqrt {1- \ sin ^ 2x} $ עם טווח קבוע $ 1 $. מהרחבות סדרת הכוח של $ \ sin x $ ו- $ \ cos x $ ברור ש $ \ sin'x = \ cos x $.

סדרת הכוח עבור $ \ sin x $ ו- $ \ cos x $ היו ידועים בהודו הרבה לפני שנמצאו על ידי ניוטון. ראה https://en.m.wikipedia.org/wiki/Madhava_series.

בעוד שנוסחאות סדרת הכוח חושפות בפנינו את נגזרות הסינוס והקוסינוס, זה לא המקרה שניוטון או לייבניץ בשנות ה 1600 עשו את הצעד הזה. הפונקציות הטריגונומטריות לא נחשבו באופן שיטתי כפונקציות שיש לתרום ולהן נגזרת. אוילר, בשנות ה -1700, היה זה ששילב לראשונה את הפונקציות הטריגונומטריות בחשבון. ראה "החשבון של הפונקציות הטריגונומטריות" מאת ויקטור כץ, הזמין באינטרנט בכתובת http://ac.els-cdn.com/0315086087900644/1-s2.0-0315086087900644-main.pdf?_tid=a15b6d9e -9c37-11e5-b17b-00000aacb35e&acdnat = 1449420025_6f4ed309a5aed67668cf37b14c276280.

ידע על העובדה הספציפית ש- $ (\ sin x) '= \ cos x $ למעשה מקדים את הידע הכללי של חשבון ונגזרות. היה ידוע בצורה הבאה: כי עבור $ \ דלתא x $ קטנה מאוד, כאשר אתה מגדיל $ x $ ל- $ x + \ Delta x $, עליית הערך של הסינוס, מ- $ \ sin x $ ל- $ \ sin (x + \ Delta x) $, הוא פרופורציונלי ל- $ \ Delta x $ פעמים $ \ cos x $. במילים אחרות, $$ \ frac {\ sin (x + \ Delta x) - \ sin x} {\ Delta x} \ approx \ cos x $$ הקירוב הוא מדויק בגבול כ $ \ Delta x \ ל 0 $ היא כמובן ההגדרה המודרנית של הנגזרת.

זה קרה מבחינה היסטורית במתמטיקה ההודית, שם Muñjala (בסביבות 932), abryabhaṭa II (בסביבות 950), Prashastidhara (בסביבות 958) נותנים את הכלל הנ"ל. לחישוב $ \ sin (x + \ Delta Delta) $, והנמקה / הצדקה גיאומטרית מפורשת ניתנת על ידי Bhāskara II (בסביבות 1150) בסידאנטה שירומאני. לא מצאתי התייחסות טובה לחלוטין לאלה, אבל אתה יכול להתחיל במאמר הבא:

• שימוש בחשבון במתמטיקה הינדית , מאת ביבהוטיבוסאן דאטא ועוואדש נאריין. סינג, מתוקן על ידי קריפה שנקר שוקלה, כתב העת ההודי להיסטוריה של המדע, 19 (2): 95–104 (1984). ( PDF)

זה צוין לראשונה על ידי Bapu Deva Shastri ב הידע של בהסקארה בחשבון הדיפרנציאלי, של בנגל, כרך 27, 1858, עמ '. 213–6.

אני מניח שהתגלית הראשונית וההצדקה שלאחר מכן נעשו רק על ידי ניסיון של כמה חישובים, כמו להלן. כיום אנו יכולים להשתמש ב- Excel לצורך חקירה מסוג זה.

באופן רשמי, $ (\ sin x) '= \ cos x $ נכון רק אם אתה מודד x ברדיאנים. אז בכל מקרה אתה צריך להשתמש ברדיאנים לעובדה זו. אם תרצה להתעלם מכך, אתה יכול לומר שאוקלידס ידע שהגבול של $ \ frac {\ sin x} {x} $ הוא 1, לפחות כאשר $ x = 2 \ pi / n $ ו- $ n \ rightarrow \ infty $ . כמובן שאוקליד לא השתמש ברדיאנים, חטאים ולימים, אך הוא הוכיח שההבדל בין שטח המעגל לבין שטח מצולע ימין כתוב יצטמצם באופן שרירותי ככל שמספר הצדדים יהפוך גדול (בשיטת תשישות). שטח ה- n-gon הימני שרשום במעגל של רדיוס 1 הוא $ \ frac 12 n \ sin (2 \ pi / n) $ . אז באמצעות הסימון שלנו, אנו יכולים לומר כי אוקלידס הוכיח ש $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac 12 n \ sin (2 \ pi / n) = \ pi. $$ זה שווה ערך ל $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {\ sin (2 \ pi / n)} {2 \ pi / n } = 1. $$ Btw, ששימש את Archimed כדי להעריך $ \ pi $ : הוא העריך $ \ pi $ לפי שטח של 96 גון. כלומר, הוא חישב $ \ sin (2 \ pi / 96) $ והשתמש ב $ 2 \ pi / 96 > \ sin (2 \ pi / 96) $ . וכדי להוכיח את הגבול העליון הוא השתמש ב $ x< \ tan x $ .