ידוע שגאוס למד משוואה היפר-גיאומטרית
$$ x (1-x) \ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} + (c- (a + b + 1) x ) \ dfrac {dy} {dx} -aby = 0 $$
הייתי רוצה לדעת משהו על ההיסטוריה של משוואה זו:
1) אם $ a = b = c = 0 $ אז מה הפתרונות של המשוואה המתאימה והאם הם נחקרו לפני גאוס?
2) מדוע זה נקרא "היפר-גיאומטרי"? לגבי משוואה זו?
אם $ a = b = c = 0 $ נקבל משוואה המופרדת מההזמנה הראשונה עבור $ y '$, כלומר. $ \ x [(1-x) y '' - y '] = 0 $ שהפתרון שלה $ y' = c (1-x) ^ {- 1} $ היה ברור מאחר ולפחות ברנולי.
בניגוד להתקדמות הגיאומטרית $ a, ar, ar ^ 2, \ dots $ שבו כל מונח, לאחר הראשון, מתקבל על ידי הכפלת המונח הקודם ביחס קבוע, וואליס ( Arithmetica infinitorum , 1656, Scholium to Prop. 190; מסכת של אלגברה , 1685, עמ '315–316) הציג סוג אחר של התקדמות, שאליו הוא העניק מאוחר יותר את השם "היפר-גיאומטרי", שבו הרציף מכפילים אינם שווים. ( למשל , הרצף הפקטורי, 1, 2, 6, 24, ... הוא התקדמות היפר-גיאומטרית.)
אנדרוז, אסקי ורועי ( 1999, עמ '61):
סדרה היפר-גיאומטרית היא סדרה $ \ sum c_n $ כך ש- $ c_ {n + 1} / c_n $ היא פונקציה רציונלית של $ n $. בפקטור הפולינומים ב- $ n $, אנו מקבלים $$ \ frac {c_ {n + 1}} {c_n} = \ frac {(n + a_1) \ cdots (n + a_p) x} {(n + b_1) \ cdots (n + b_q) (n + 1)}. \ תג {2.1.1} $$ ה- $ x $ מתרחש מכיוון שהפולינום אינו יכול להיות חד פעמי. הגורם $ (n + 1) $ עשוי לנבוע מהגורם, או שלא. אם לא, הוסף אותו יחד עם הגורם המפצה $ (n + 1) $ במונה (...) מ- (2.1.1) יש לנו $$ \ sum_ {n = 0} ^ \ infty c_n = c_0 \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(a_1) _n \ cdots (a_p) _n} {(b_1) _n \ cdots (b_q) _n} \ frac {x ^ n} {n!} =: c_0 \, {} _pF_q \ left (\ begin {matrix} a_1, \ dots, a_p \\ b_1, \ dots, b_q \ end {matrix}; x \ right). \ tag {2.1.2} $$
Birkhoff ( 1973, p. 61):
Kummer ( 1836) נתן את השם "פונקציה היפר-גיאומטרית" ל- $ F $.
ראה דוטקה ( שם עמ '29-33). הקשר הכרחי הוא העבודה הקודמת של וואליס (עמ '15–17), ניוטון (17), סטירלינג (17–20), אוילר (20–26), אגדה (26), פפף (26–29).
1) עבור $ a = b = c = 0 $ יש לנו משוואה $$ x (1-x) \ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} -x \ dfrac {dy} {dx} = 0 $$ עם פתרון $ C_1 + C_2 \ log (1-x) $. זה כנראה לא ייחשב היפר-גיאומטרי, אלא במובן מנוון.
2) תשובה (צריך התייחסות): ב סדרה גיאומטרית $ \ sum a_n $, היחס $ \ frac {a_ {n + 1}} {a_n} $ קבוע, אינו תלוי ב- $ n $. אנו מייצרים את זה ל סדרות היפגומריות שם $ \ frac {a_ {n + 1}} {a_n} $ היא פונקציה רציונאלית של $ n $. סדרות אלה הן $ _p F_q $ פונקציות, לא רק $ _2 F_1 $ של גאוס.
3) גאוס עשה הרבה בעניין הזה. אבל זה מעבר לתחום התשובה הזו ... אולי קרא את הקטע ב ויקיפדיה לקבלת רעיון כלשהו