אף על פי שבעיות רבות שאנו מצמצמים כעת למשוואות פולינום נפתרו מאז ומעולם, התרחשויות מוקדמות מאומנות במונחים מילוליים ו / או גיאומטריים, ופולינומים אינם מתייחסים כפריטים נפרדים. לגבי התרחשויות מוקדמות של בעיות גיאומטריות המובילות (היום) למשוואות ריבועיות ראה מקור המשוואה הריבועית בפועל בפועל. המשוואות הראויות, שלא לדבר על הפולינומים עצמם, אכן מופיעות מאוחר יחסית.

פריצת הדרך הראשונה נעשתה על ידי דיופנטוס באריתמטיקה (כ -250 לספירה), שהציג סימון עבור $ \ varsigma $ בלתי מוגדר, הראשון $ x $, וכוחותיו עד השישית, $ \ Delta ^ {\ upsilon} $ הוא $ \ varsigma $ בריבוע, $ K ^ {\ upsilon} $ קוביות וכו '. אז בפעם הראשונה אפשר היה לכתוב פולינומים למטה, אם כי רק עד תואר שש. היו לו אפילו סמלים לתנאים קבועים ולהדדי כוחות. Diophantus היה גם הראשון להמיר בעיות טקסט למשוואות פולינום, והשתמש באלגברה ראשונית (מילולית) כדי לפתור אותן. עם זאת, גם "הפולינומים" של דיופנטוס אינם פריטים נפרדים, הם מופיעים רק כצדדים במשוואות. הדבר מקביל לשימוש בבבלי והלניסטי בסמל אפס כמציין מיקום. הנה $ 3x ^ 2 + 1- (10x ^ 3 + 2x) = 4 $ בסימון של דיופנטוס: $ \ Delta ^ {\ upsilon} \ gamma \ mathring {M} \ alpha \ pitchfork K ^ {\ upsilon} \ iota \ varsigma \ beta \ iota ^ {\ sigma} \ mathring {M} \ delta $. ראה ההשפעה הסמלית והמתמטית של Hettle של האריתמטיקה של דיופנטוס לפרטים וסימונים.

אך פולינומים באמת זורחים בעבודתו של אלסמאוואל (1130-1180) הספר הזוהר לחישוב. הוא ויתר על סימון מילולי וחצי מילולי, והשתמש בטבלאות של מקדמים כדי לכתוב ולבצע חישובים עם פולינומים, כולל אלה עם כוחות שליליים (פולינום לורן). זה מאוד פשט את כל החישובים האלגברים איתם מכיוון ש"חוקי מעריכים "מוחלים באופן אוטומטי. והוא נותן את האלגוריתם של חלוקת הפולינום הראשון, סבו של החלוקה הארוכה והסינטטית המודרנית. הוא גם ציין את האנלוגיה בין דרך כתיבתו של פולינום לציון המיקום העשרוני, והעביר את האלגוריתמים שלו למספרים עשרוניים על ידי החלפת המשתנה ב $ 10 $. זו הייתה ההצדקה המתמטית הראשונה של אלגוריתם חלוקת מיקום. ראה מתמטיקה אסלאמית ו היסטוריית המתמטיקה של כץ.

האיזאגוגה של ויאה (1591) הציג סימון סימבולי בסגנון מודרני וכללי מניפולציה אלגברית וייטה עדיין משתמש במילים בכוחות, אלה סומלו על ידי דקארט, אך הם קשורים למשתנים. בפרט השימוש באותיות בפרמטרים אפשר התייחסות כללית לפולינומים ולא דוגמה לדוגמא. ומבחינה פילוסופית, בעבודות של וייט אנו נתקלים לראשונה בשימוש שיטתי בשיטה בה מומרות בעיות למשוואות ואז נפתרות באופן אלגברי. ראה הרלוונטיות של Viète והקשר שלו לאאולר, והפניות שם.

שיטה זו התחדדה עוד יותר על ידי הגיאומטריה האנליטית של דקארט ב- La Géométrie (1637). הוא חיבר את זה לשיטת הניתוח והסינתזה הקלאסית שתיאר פפוס, אך עם המרה למשוואות אלגבריות באמצע. זה לא רק פתרונות יעילים של בעיות קלאסיות רבות, אלא גם כיסה על חדשות רבות, שניתן לבטא באמצעות משוואות מסדר גבוה יותר. יתר על כן, דקארט שוקל פולינומים בשני משתנים, שייצגו עקומות אלגבריות בגיאומטריה אנליטית, וכאן השורש הגיאומטריה האלגברית. פורמליזציה של דקארט בשיטות הבנייה, וסיווג הבעיות על סמך ייצוגן האלגברי, הובילו לטכניקות הנדרשות להוכחות בלתי אפשריות, החל בניסיונו (הלא מוצלח) של גרגורי להוכיח את חוסר הפיתרון האלגברי של ריבועי (1667). ראה תוצאות חוסר האפשרות של קריפה: מגיאומטריה לניתוח.

משוואות פולינום הן בין האובייקטים העיקריים של המתמטיקה מראשיתה. בבלים ידעו לפתור משוואות ריבועיות אם כי לא השתמשו בסימון מודרני כמובן. תורת החלקים החרוטיים היא חקר משוואות ריבועיות בשני משתנים, והיא בוצעה על ידי אפולוניוס מבחינה גיאומטרית. (באותה תקופה סימן אלגברי לא היה קיים, והיוונים לא חשבו על החלקים החרוטיים כמשוואות פולינומיות). משוואות פולינומיות בדרגה גבוהה יותר ובמשתנים רבים נחקרו לראשונה באופן שיטתי על ידי דיופנטוס, על פני תחום המספרים הרציונליים, כך שבמובן מסוים אפולוניוס ודיופנטוס יכולים להיחשב כיוצרים של גאומטריה אלגברית (על פני הריאליות ועל הרציונלים בהתאמה). / p>

מדענים מוסלמים המשיכו במחקר הפולינומים בתקופת האופל באירופה.

היה זה טבעי לחפש נוסחה כללית לפתרון משוואות הפולינום במשתנה אחד של מעלה גבוהה יותר מ- 2. זה הושג במאה ה- XVI (טרטגליה, קרדאנו, פרארי). סימון מודרני לפולינומים הוצג על ידי וייטה. לבסוף דקארט המציא את שיטת הקואורדינטות שלו וחיבר את הגישה הגיאומטרית של היוונים לגישה האלגברית. אז דקארט היה כנראה הראשון שחקר מערכות של משוואות פולינום כפי שאנו מכירים אותן כעת.

אז עד לניוטון, המחקר של משוואות הפולינומים היה מבוסס היטב. ניוטון עצמו תרם לכך על ידי סיווג העקומות האלגבריות האמיתיות של דרגה 3 (עבור דרגה 2 זה נעשה על ידי אפולוניוס, ובסימון אלגברי על ידי דקארט).

תן לי להוסיף שפולינומים אינם רק "הפונקציות הפשוטות ביותר" אלא נותרים אחד ממושאי הלימוד העיקריים במתמטיקה בימינו. האזור הנקרא גיאומטריה אלגברית הוא חלק מרכזי במתמטיקה. זה חוקר אקווטונים פולינומיים.