Poincare מתייחס לפיתרון של השקר לבעיית החלל כביכול, המכונה גם הלמהולץ, או רימן-הלמהולץ, או בעיית החלמה-לי של המרחב, מה שמאפיין את כל הסעפות (במקור, רק תלת מימד) ניידות חופשית של דמויות (בערך, הומוגניות ואיזוטרופיה). במונחים מודרניים, ניידות חופשית מסתכמת בעקמומיות רימנית מתמדת. זה מה שמצבו המצוטט השני של Poincare מסתכם, וצורות החלל נידונות בכל העיתון (ראה התרגום לאנגלית של MacTutor). לבעיה היו שורשים בהתנגדויותיו של הלמהולץ ל אפריורי קנטיאנית לאינטואיציה של החלל להיות אוקלידי. נראה שזה היה קשור לשאלות היסודיות אודות אופי החלל ותפיסתנו אותו, והעסיק כמה גאומטרים בולטים (כולל גם רימן, קליפורד, קליין, אנגל והריגה, לימים הופף) בחלק ניכר מה -19 ובתחילת העשרים. מאה. תערוכה מודרנית טובה נמצאת ב פילוסופיה של ווייל למתמטיקה ומדעי הטבע, אם אתה קורא צרפתית ראה גם את התזה של מרקר סופוס לי, פרידריך אנגל ובעיית רימן-הלמהולץ. מוצרי טיפוח Poinc פחות או יותר הסכימו עם תפיסתו של הלמהולץ, ובעצמו פרסם מאמר מתמטי על צורות חלל, Sur les hypothèses fondamentales de la géométrie (1887) (הכותרת מושאלת מ- Riemann הרצאה), המשתמשת בתורת קבוצות השקר. מאוחר יותר, באחרון של מאמרי ה- Situs של ניתוחו (המשלוח החמישי, 1904), הוא הציג את "מרחב הדודקהדרון", צורת חלל תלת מימדית לא פרטית, וגיבש את השערת Poincare המפורסמת כיום. הניידות החופשית הייתה אקסיומטית, על פי פילוסופיית הגיאומטריה של טורטי מרימן לפוינקרה, הרפורמציה התיאורטית הקבוצתית של Lie הייתה כדלקמן:

" כדי לקבוע את כל הקבוצות הרציפות הסופיות של $ R_n $ , שאין להן כל אחד מנקודה אחת, בדיוק אחד (עצמאי) של שתי נקודות ואין שום $ k $ -נקריאנטיות חיונית עבור $ k>2 $ . "

Toretti נותן תיאור מפורט של הפרה-היסטוריה והפתרון של השקר (חלקם הוא שיש סופית הרבה צורות שטח כאלה לכל $ n $ ):

" תוצאות החקירות של Lie כלולות בתיאוריה המונומנטלית של קבוצות הטרנספורמציה, בעריכה בסיועו של פרידריך אנגל. חלק ה 'של הכרך השלישי הוא המוקדש למחקר מפורט של בעיית חלמהולץ בחלל. לי אומר כי בעיה זו הובאה לידיעתו ידידו קליין, שאמר לו כי מתמטיקאים רבים לא יקבלו את נימוקיו של הלמהולץ, והציע כי הבעיה עשויה להיות נוגעת. d בהצלחה עם המשאבים של תורת הקבוצות של Lie. Lie דיווח על תוצאותיו בעניין זה בשנת 1886, ופרסם אותן עם הוכחות בשנת 1890. תוכן שני מאמריו משנת 1890 הוכנס לטיפול המורחב במידה ניכרת בבעיית הלמהולץ הכלולה בספרו הגדול של Lie. "

כפי שהתברר, הפיתרון של Lie היה שלם מכיוון שהוא התעלם מהטופולוגיה העולמית, כל צורות החלל שלו יושבות במרחבים השלכתיים. נושאים טופולוגיים עלו כבר בהתכתבות קליין-קילינג בשנות 1880, אך הפתרון המלא לקח זמן רב לסיום, והוא ידוע כיום כמשפט Hopf-Killing, ראה Epple's From Quaternions to Cosmology: Spaces of Constant Curvature, ca. 1873–1925. היסטוריה מפורטת חשבון התרומות של קילינג הוא וילהלם קילינג והמבנה של שקר אלגברות מאת הוקינס.