גאוס גם העלה את $ n / \ ln (n) $ בדיד יותר - בכרך 10 מעבודותיו שנאספו נראה קצר (5-6 עמודים קטע שכותרתו " חוקי חשבון אסימפטוטיים ", המתוארך לשנת 1791. בשנת [1] של קטע זה גאוס מצהיר על קירוב זה של פונקציית ספירת ראשוניים, וכן השערות נוספות על האסימפטוטיקה. של מספרים ראשוניים k. בבחינת טבלאות של מספרים ראשוניים עד למספרים גדולים מאוד, הוא קבע את משפט המספרים הראשוניים (כי הצפיפות הממוצעת של ראשוניים בין $ 1 $ ו- $ n $ הוא $ 1 / \ log (n) $ ) כחוק אמפירי, ועל בסיס זה הסיק את השערתו הכללית יותר על מספרים ראשוניים k. רק מאוחר יותר (נראה כי במכתבו ל- Encke מ- 1849) הוא עידן את השערתו כך שלראשונים יש צפיפות $ 1 / \ log (n) $ "סביב" המספר $ n $ , מה שמוביל ישירות לקירוב האינטגרלי הלוגריתמי (טוב יותר) $ \ pi (n) \ propto \ int_ { 2} ^ {n} \ frac {dx} {\ ln x} $ .

לדיון מורחב ביחס האסימפטוטיקה של גאוס למספרי ראשוניים k למשפט המספרים הראשוניים, תוכל להסתכל ב https://math.stackexchange.com/questions/2587733/what -היה-היוריסטיקה-מאחורי-גאוסס-ניחש-על-התפלגות-אסימפטוטית-של-ק.

באשר למקורות מקוונים, ניתן לקרוא את העבודות שנאספו של גאוס באופן חופשי בספרייה הדיגיטלית של אוניברסיטת גטינגן. הנה קישור לעבודותיו שנאספו של גאוס: https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235957348. באופן ספציפי, מה שאתה מחפש (משפט המספרים הראשוניים) הוא בראשית הכרך 10-1

עם כל הכבוד לגאוס, ראה את התשובה האחרת, נראה שזה היה אדריאן-מארי לג'נדר ש פרסם לראשונה זאת באופן משוער. ליתר דיוק, בעמוד האחרון של ההקדמה (עמ '19) של המהדורה הראשונה של מאמרו על תורת המספרים (1798), הוא אומר בהערת שוליים. :

חוץ מזה, סביר להניח שהנוסחה הקפדנית שנותנת את הערך של $ b $ [פרמיות $ \ le a $ ] כאשר $ a $ גדול מאוד, הוא בצורת $ b = \ dfrac {a} {A \, יומן. a + B} $ , $ A $ ו- $ B $ הם מקדמים קבועים, ו $ log.a $ המציין לוגריתם היפרבולי [כלומר $ ln (a) $ ]. הקביעה המדויקת של מקדמים אלה תהיה בעיה מוזרה וראויה למימוש צמיחת האנליסטים.

[התרגום שלי: "חוץ מזה, הנוסחה הקפדנית שנותנת את הערך של $ b $ [פרמיות $ \ le a $ ] כאשר $ a $ גדול מאוד, הוא בצורה $ b = \ dfrac {a} {A \, log. a + B} $ , כאשר $ A $ ו- $ B $ הם מקדמים קבועים, ו $ log.a $ מציין לוגריתם היפרבולית [כלומר $ ln (a) $ ]. הקביעה המדויקת של מקדמים אלה היא בעיה מוזרה, שראוי לאנליסטים לממש את sagacity. "]

אז בסימון מודרני הוא משער ש $ \ pi (x) \ approx \ dfrac {x} {A \ ln ( x) + B} $ עם קבועים מסוימים $ A, B $ .

ב המהדורה השנייה של אותה יצירה (1808), הוא הפך את זה לחלק שלם (§VIII) בחלק הרביעי, החל בעמ. 394. כעת הוא טוען ש

$$ \ dfrac {x} {\ ln (x) -1.08366} $$

הוא הקירוב הטוב ביותר, כלומר זמן מה בין 1798 ל -1808 הוא החליט על קבועיו, $ A = 1 $ ו- $ B \ כ -1.08366 $ span>. בכרך 2 של המהדורה השלישית המורחבת (1830), האחרונה שפורסמה בזמן חייו של לג'נדר, הוא עומד בתביעה זו (חלק רביעי, §VIII, עמ '65).

המספר המוזר במקצת $ (\ pm) 1.08366 $ התפרסם, במידה לא הוגנת, בתור הקבוע של האגדה. על פי המאמר בוויקיפדיה, צ'בישביש הוכיח בשנת 1849 שאם הנוסחה תקפה לכל $ B $ , אז הערך חייב להיות $ B = (-) 1 $ , ולפי משפט המספרים הראשוני, זה באמת. אז לג'נדר ממש צדק בחשבון הראשון שלו, רק שאחד הקבועים שלו התגלה כפשוטם בהרבה ממה שהוא חשב.

נראה כי לג'נדר הגיע עם זה באופן עצמאי מגאוס (ולו רק בגלל שזה נראה שגאס שיער את הקבועים הנכונים מייד).

זה יהיה מעניין לדעת מאיפה לג'נדר קיבל את הביטחון שלו שחמש העשרוניות האלה $. 08366 $ צדקו; מכיוון שלמרות שהם לא כל כך רחוקים בטווח שעבורו היו טבלאות מספרים ראשוניים באותה תקופה, גם לא היו מספרים אחרים. ע"פ https://www.mathpages.com/home/kmath032.htm. (למשל בטוח, אם נסתכל על https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_constant#/media/File:Legendre%27s_constant.svg, הקו הכחול תואם מעט, אבל אם העברנו אותו למעלה או למטה על ידי $ \ pm 0.01 $ , זה עדיין ייראה סביר; שלא לדבר על ללכת ל $ 1.08361 $ או $ 1.08379 $ או ...) סביר להניח שיש משהו בזה באותו סעיף VIII של החלק הרביעי של המהדורות המאוחרות יותר, שיהיה כנה לא קראתי ביסודיות עכשיו (ובכל מקרה יהיה חסר לי הבנה); אולי מישהו עם ידע טוב יותר בתורת המספרים יכול לעזור כאן.