על פי ויליאם דנהאם ב מסע דרך גאונות

[משפט הבינומי של ניוטון אינו] "משפט" במובן של אוקלידס או ארכימדס באותו ניוטון. לא סיפק הוכחה מלאה. אולם התובנה והאינטואיציה שלו שימשו אותו מספיק בכדי לתכנן נוסחה גרמנית ... יתר על כן, אמונתו הטבועה בהתמדה של הדפוסים הציעה לו שהנוסחה שיצרה נכון מקדמים לכוחות בינומיים כמו $ (a + b) ^ 2 $ או $ (a + b) ^ 3 $ אמור לעבוד באותה מידה עבור כוחות כמו $ (a + b) ^ {\ frac12} $ או $ (a + b) ^ {- 3} $.

למרות שניוטון לא הוכיח תוצאה זו, יש לנו מושג כלשהו כיצד הוא הגיע אליה. ההסבר של ניוטון מוצג בצמד מכתבים שנשלחו לליבניץ מיום 1676 ונמסרו באמצעות הנרי אולדנבורג מהחברה המלכותית. בה הוא מסביר כיצד הגיע לתוצאה שלו בדרך עקיפה במקצת. הוא חקר את האזורים מתחת לעיקולים $ y = (1-x ^ 2) ^ {\ frac {n} {2}} $ מ- $ 0 $ ל- $ x $ עבור $ n = 0, 1, 2, 3, \ נקודות $. קל לחשב אותם אפילו $ n $. על ידי התבוננות בדפוסים ואינטרפולציה, ניוטון הצליח לנחש את התשובה לערכים מוזרים של $ n $. ואז הוא הבין שהוא יכול לקבל את אותן התשובות על ידי ביטוי של $ (1-x ^ 2) ^ {\ frac {n} {2}} $ כסדרה אינסופית.

ניוטון כתב: $$ ( P + PQ) ^ {\ frac {m} {n}} = P ^ {\ frac {m} {n}} + \ frac {m} {n} AQ + \ frac {mn} {2n} BQ + \ frac {m-2n} {3n} CQ + \ dots $$ כאשר $ P + PQ $ הוא הבינום שיש לקחת בחשבון; כאשר $ \ frac {m} {n} $ הוא הכוח שאליו אנו מעלים את הבינום "בין אם כוח זה הוא אינטגרלי ובין אם (כביכול) חלקי, בין אם הוא חיובי או שלילי"; והיכן ש- $ A, B, C, \ dots $ מייצגים את המונח הקודם המיידי בהרחבה. (ראה TL; DR)

זה עשוי להיראות לא מוכר בהשוואה לצורה המודרנית. כאשר אתה מחלק את המונח $ P ^ {\ frac {m} {n}} $ מצד ימין ומבטל, אתה מגיע לטופס המוכר יותר:

$$ (1 + Q) ^ {\ frac {m} {n}} = 1 + \ frac {m} {n} Q + \ frac {(m / n) (m / n-1)} {2} Q ^ 2 + \ frac {(m / n) (m / n-1) (m / n-2)} {2 \ times3} Q ^ 3 + \ frac {(m / n) (m / n-1) (m / n-2) (m / n-3)} {2 \ times3 \ times4} Q ^ 4 + \ dots $$

TL; DR

לפיכך, בסימן ניוטון, $$ A = P ^ {\ frac {m} {n}} $$$$ B = \ frac {m} {n} AQ = \ frac {m} {n} P ^ {\ frac {m} {n}} Q $$ $$ C = \ frac {(mn)} {2n} BQ = {\ frac {(mn) m} {(2n ) n}} P ^ {\ frac {m} {n}} Q ^ 2 = {\ frac {(m / n) (m / n-1)} {2}} P ^ {\ frac {m} { n}} ש ^ 2 $$ וכו '.